云非圆球,山非圆锥,闪电不走直线.大自然形状的复杂性有不同的种类,不仅仅是程度上的不同.为了描写这些形状,伯努瓦?B.芒德布罗设计和发展了一种新的几何学??分形几何学.他的工作对本书论及的许多不同的领域都很重要.现在,这样的领域因许多积极的研究者而大为扩充,芒德布罗展示了分形几何学的根源及其新应用的深入概述.本书的以前几个版本受到高度评价,但这一版有更广泛和深入的覆盖范围,以及更多插图.

本书前3章主要介绍了Riemann流形、Riemann联络、Riemann截曲率、Ricci曲率和数量曲率，详细论述了全测地、全脐点和极小子流形等重要内容。此外，还应用变分和Jacobi场讨论了测地线、极小子流形的长度与体积的极小性。在证明了Hodge分解定理之后，论述了Laplace-Beltrami算子△的特征值估计以及谱理论。进而，介绍了Riemann几何中重要的Rauch比较定理、Hessian比较定理、Laplace比较定理和体积比较定理。作为比较定理的应用，我们有 的拓扑球面定理。这些内容可视作近代微分几何 的专业基础知识。在叙述时，我们同时采用了不变观点（映射观点、近代观点）、坐标观点（古典观点）和活动标架法。无疑，这些对阅读文献和增强研究能力会起很大作用。第4章、第5章是作者关于特征值的估计和等谱问题、曲率与拓扑不变量等方面部分论文的汇集，将引导读者如何去阅读文献，如

黎曼曲面单值化定理是数学中*美丽且*重要的定理之一。它不仅给出了黎曼曲面的一个清晰的分类，而且也激发了许多新的方法。例如，它的证明激发了黎曼-希尔伯特对应和皮卡-富克斯方程，并且单值化的高维推广包含了卡拉比-丘流形。 本书包括来自世界各地的专家就书名中的四个主题精心撰写的综述性文章，全面讨论了这四个主题以及它们之间的关系。本书对于初学者是一本非常有价值的入门书，也可作为其他数学家的参考书。

本书专注于利用几何方法来解决高维系统稳定性问题，系统介绍了稳定性的基本概念以及一些公开问题、判定全局稳定性的Lyapunov-LaSalle稳定性定理、由Li和Muldowney所创立的基于高维Bendixson准则判定稳定性的几何方法。此外，还包括 近作者在Li和Muldowney几何准则的基础上，所改进的稳定性的几何判据，以及利用此判据解决传染病和种群动力学中涉及的稳定性问题，包括 地解决了Zeemans猜想、Driessche-Zeeman猜想；在三维竞争情形下，证明了Hofbauer-Sigmund猜想， 解决了SEIRS型传染病模型中的Liu-Hethcote-Levin猜想等。 本书可作为理工科相关专业本科生、研究生课程教材或参考书。

度量几何 是建立在拓扑空间长度概念基础之上的处理几何的方法，这种方法在*近几十年飞速发展，并渗透到诸如群论、动力系统和偏微分方程等其他数学学科。 这本研究生教材有两个目标：详细阐述长度空间理论中使用的基本概念和技巧，以及更一般地，为大量不同的几何论题提供一个初等导引，这些论题都与距离观念相关，包括黎曼度量和 Carnot-Carath odory 度量、双曲平面、距离-体积不等式、(大规模的、粗糙的) 渐近几何、Gromov 双曲空间、度量空间的收敛性，以及 Alexandrov 空间 (非正和非负的弯曲空间)。作者倾向于用 易于看见 的方法来处理 易于触碰 的数学对象。 作者设定了一个具有挑战性的目标，即让本书的核心部分能为一年级研究生所接受。大多数新的概念和方法都按*简单的情形来提出并阐明，从而避免了技术性的障碍。本书还包括大量习题，这些习题

分形几何学是描述具有无规则结构复杂系统形态的一门新兴边缘科学。在过去30多年中，分形几何学已成功地应用于许多不同学科的研究领域，并对一些未解难题的研究取得突破性进展。 ，分形几何学已被认为是研究复杂问题的一种语言和工具，成为世人关注的学术热点之一。 王兴元、孟娟著的《分形几何学及应用(下)》详细介绍分形几何学中具有重要地位的M-J集的生成机理，探索了M-J集发展、演化、控制、应用的规律，用动力系统的观点对M-J集的复杂性进行刻画。 本书主要内容有：分形几何学的发展史及研究方法、分形几何学的基本理论、序列和映射中的分形与混沌、广义M-J集、广义M—J集非边界区域分形结构、噪声扰动广义M-J集及其控制、高维广义M-J集、牛顿变换的广义J集、IFs吸引子和广义M-J集在物理学中的应用研究。 本书深入浅出，图文

全书共分2章。第1章介绍复形的单纯同调群。应用“挤到边上去”的方法计算了大量典型复形的同调群，证明了单纯同调群的重分不变性、拓扑不变性和伦型不变性。应用线性代数和抽象代数知识给出了有限复形的整单纯同调群的结构定理。应用单纯同调群证明了Sn-1不是Bn的收缩核及其等价的Brouwer不动点定理，从而证明了艰难的Jordan分割定理和Jordan曲线定理，进而给出了正合单纯下同调序列和正合单纯上同调序列。 第2章介绍拓扑空间的奇异同调群。证明了奇异下(上)同调群的伦型不变性。应用图表追踪法证明了奇异下(上)同调序列的正合性，还证明了Mayer-Vietoris序列的正合性。定理2.8.1给出了奇异上同调群的万有系数定理，定理2.8.10给出了奇异下同调群的万有系数定理，这表明以任意交换群为系数群的奇异同调群 由其整奇异下同调群决定。关于多面体，2.2节证明

本书前3章主要介绍了Riemann流形、Riemann联络、Riemann截曲率、Ricci曲率和数量曲率，详细论述了全测地、全脐点和极小子流形等重要内容。此外，还应用变分和Jacobi场讨论了测地线、极小子流形的长度与体积的极小性。在证明了Hodge分解定理之后，论述了Laplace-Beltrami算子△的特征值估计以及谱理论。进而，介绍了Riemann几何中重要的Rauch比较定理、Hessian比较定理、Laplace比较定理和体积比较定理。作为比较定理的应用，我们有 的拓扑球面定理。这些内容可视作近代微分几何 的专业基础知识。在叙述时，我们同时采用了不变观点（映射观点、近代观点）、坐标观点（古典观点）和活动标架法。无疑，这些对阅读文献和增强研究能力会起很大作用。第4章、第5章是作者关于特征值的估计和等谱问题、曲率与拓扑不变量等方面部分论文的汇集，将引导读者如何去阅读文献，如

本书前3章主要介绍了Riemann流形、Riemann联络、Riemann截曲率、Ricci曲率和数量曲率，详细论述了全测地、全脐点和极小子流形等重要内容。此外，还应用变分和Jacobi场讨论了测地线、极小子流形的长度与体积的极小性。在证明了Hodge分解定理之后，论述了Laplace-Beltrami算子△的特征值估计以及谱理论。进而，介绍了Riemann几何中重要的Rauch比较定理、Hessian比较定理、Laplace比较定理和体积比较定理。作为比较定理的应用，我们有 的拓扑球面定理。这些内容可视作近代微分几何 的专业基础知识。在叙述时，我们同时采用了不变观点（映射观点、近代观点）、坐标观点（古典观点）和活动标架法。无疑，这些对阅读文献和增强研究能力会起很大作用。第4章、第5章是作者关于特征值的估计和等谱问题、曲率与拓扑不变量等方面部分论文的汇集，将引导读者如何去阅读文献，如

本书前3章主要介绍了Riemann流形、Riemann联络、Riemann截曲率、Ricci曲率和数量曲率，详细论述了全测地、全脐点和极小子流形等重要内容。此外，还应用变分和Jacobi场讨论了测地线、极小子流形的长度与体积的极小性。在证明了Hodge分解定理之后，论述了Laplace-Beltrami算子△的特征值估计以及谱理论。进而，介绍了Riemann几何中重要的Rauch比较定理、Hessian比较定理、Laplace比较定理和体积比较定理。作为比较定理的应用，我们有 的拓扑球面定理。这些内容可视作近代微分几何 的专业基础知识。在叙述时，我们同时采用了不变观点（映射观点、近代观点）、坐标观点（古典观点）和活动标架法。无疑，这些对阅读文献和增强研究能力会起很大作用。第4章、第5章是作者关于特征值的估计和等谱问题、曲率与拓扑不变量等方面部分论文的汇集，将引导读者如何去阅读文献，如

全书共分2章。第1章介绍复形的单纯同调群。应用“挤到边上去”的方法计算了大量典型复形的同调群，证明了单纯同调群的重分不变性、拓扑不变性和伦型不变性。应用线性代数和抽象代数知识给出了有限复形的整单纯同调群的结构定理。应用单纯同调群证明了Sn-1不是Bn的收缩核及其等价的Brouwer不动点定理，从而证明了艰难的Jordan分割定理和Jordan曲线定理，进而给出了正合单纯下同调序列和正合单纯上同调序列。 第2章介绍拓扑空间的奇异同调群。证明了奇异下(上)同调群的伦型不变性。应用图表追踪法证明了奇异下(上)同调序列的正合性，还证明了Mayer-Vietoris序列的正合性。定理2.8.1给出了奇异上同调群的万有系数定理，定理2.8.10给出了奇异下同调群的万有系数定理，这表明以任意交换群为系数群的奇异同调群 由其整奇异下同调群决定。关于多面体，2.2节证

全书共分2章。第1章介绍复形的单纯同调群。应用“挤到边上去”的方法计算了大量典型复形的同调群，证明了单纯同调群的重分不变性、拓扑不变性和伦型不变性。应用线性代数和抽象代数知识给出了有限复形的整单纯同调群的结构定理。应用单纯同调群证明了Sn-1不是Bn的收缩核及其等价的Brouwer不动点定理，从而证明了艰难的Jordan分割定理和Jordan曲线定理，进而给出了正合单纯下同调序列和正合单纯上同调序列。 第2章介绍拓扑空间的奇异同调群。证明了奇异下(上)同调群的伦型不变性。应用图表追踪法证明了奇异下(上)同调序列的正合性，还证明了Mayer-Vietoris序列的正合性。定理2.8.1给出了奇异上同调群的万有系数定理，定理2.8.10给出了奇异下同调群的万有系数定理，这表明以任意交换群为系数群的奇异同调群 由其整奇异下同调群决定。关于多面体，2.2节证

本书主要介绍微分拓扑中的一些重要定理：映射的逼近定理、映射和流形的光滑化定理；Morse-Sard定理、Whitney嵌入定理、Thom横截性定理；管状邻域定理、Brouwer度的同伦不变性定理、Hopf分类定理；Morse理论、用临界值刻画流形的同伦型和Morse不等式以及Poincare-Hopf指数定理；de Rham同构定理。 这些定理在微分拓扑、微分几何、微分方程和理论物理等学科中都有广泛的应用。无疑，阅读本书可使读者具有良好的近代数学修养并增强独立研究的能力。 本书可作为理科大学数学系本科生、研究生的教科书或物理系研究生相关课程的教科书和自学参考书。

本书主要介绍微分拓扑中的一些重要定理：映射的逼近定理、映射和流形的光滑化定理；Morse-Sard定理、Whitney嵌入定理、Thom横截性定理；管状邻域定理、Brouwer度的同伦不变性定理、Hopf分类定理；Morse理论、用临界值刻画流形的同伦型和Morse不等式以及Poincare-Hopf指数定理；de Rham同构定理。 这些定理在微分拓扑、微分几何、微分方程和理论物理等学科中都有广泛的应用。无疑，阅读本书可使读者具有良好的近代数学修养并增强独立研究的能力。 本书可作为理科大学数学系本科生、研究生的教科书或物理系研究生相关课程的教科书和自学参考书。

本书主要介绍微分拓扑中的一些重要定理：映射的逼近定理、映射和流形的光滑化定理；Morse-Sard定理、Whitney嵌入定理、Thom横截性定理；管状邻域定理、Brouwer度的同伦不变性定理、Hopf分类定理；Morse理论、用临界值刻画流形的同伦型和Morse不等式以及Poincare-Hopf指数定理；de Rham同构定理。 这些定理在微分拓扑、微分几何、微分方程和理论物理等学科中都有广泛的应用。无疑，阅读本书可使读者具有良好的近代数学修养并增强独立研究的能力。 本书可作为理科大学数学系本科生、研究生的教科书或物理系研究生相关课程的教科书和自学参考书。

希腊数学的*成就是正多面体的分类，即五种所谓的柏拉图体。*复杂的正多面体是二十面体。直到19世纪，数学中*重要的问题是解代数方程。在这本经典著作中，Klein展示了如何将这两个看似无关的主题联系起来，并将它们与另一个新的数学理论联系在一起：超几何函数和单值群。这清楚地表明了克莱因对数学统一性的高瞻远瞩。本书包括Peter Slodowy的评注和他关于Klein这本经典著作的解释性论文，从而帮助读者理解ADE的分类，以及它们在当前研究中的许多意想不到的联系和应用。The highest achievement of the Greek mathematics is the classification of regular solids, the five so-called Platonic solids. The most complicated solid is the icosahedron. Up to and through the 19th century, the most important problem in mathematics was to solve algebraic equations. In this classic book, Klein showed how to relate these two seemingly unrelated topics and also tied th

J-全纯曲线理论自其由Gromov于1985年引入以来，已经变得非常重要。在数学中，它的应用包括许多辛拓扑中的关键结果。它也是创立Floer同调的主要灵感之一。在数学物理中，它提供了一个自然的语境用以在其中定义镜像对称猜想的两个重要成分 Gromov-Witten不变量和量子上同调。 本书的主要目的是以充分和严格的细节来建立这个主题的基本定理。特别地，本书包含关于球面的Gromov紧性定理、球面的黏合定理以及在半正情形下量子乘法的结合性的完整的证明。本书也可以作为对辛拓扑当前工作的介绍：有两个关于应用的长的章节，一章专注于辛拓扑的经典结果，另一章涉及量子上同调。*后一章概述了Floer理论的一些*进展。本书的五个附录提供了与线性椭圆算子的经典理论、Fredholm理论和Sobolev空间相关的必需的背景知识，以及关于零亏格稳定曲线模空间的讨论和四

本书前3章主要介绍了Riemann流形、Riemann联络、Riemann截曲率、Ricci曲率和数量曲率，详细论述了全测地、全脐点和极小子流形等重要内容。此外，还应用变分和Jacobi场讨论了测地线、极小子流形的长度与体积的极小性。在证明了Hodge分解定理之后，论述了Laplace-Beltrami算子△的特征值估计以及谱理论。进而，介绍了Riemann几何中重要的Rauch比较定理、Hessian比较定理、Laplace比较定理和体积比较定理。作为比较定理的应用，我们有 的拓扑球面定理。这些内容可视作近代微分几何 的专业基础知识。在叙述时，我们同时采用了不变观点（映射观点、近代观点）、坐标观点（古典观点）和活动标架法。无疑，这些对阅读文献和增强研究能力会起很大作用。第4章、第5章是作者关于特征值的估计和等谱问题、曲率与拓扑不变量等方面部分论文的汇集，将引导读者如何去阅读文献，如