云非圆球,山非圆锥,闪电不走直线.大自然形状的复杂性有不同的种类,不仅仅是程度上的不同.为了描写这些形状,伯努瓦?B.芒德布罗设计和发展了一种新的几何学??分形几何学.他的工作对本书论及的许多不同的领域都很重要.现在,这样的领域因许多积极的研究者而大为扩充,芒德布罗展示了分形几何学的根源及其新应用的深入概述.本书的以前几个版本受到高度评价,但这一版有更广泛和深入的覆盖范围,以及更多插图.
本书主要介绍微分拓扑中的一些重要定理：映射的逼近定理、映射和流形的光滑化定理；Morse-Sard定理、Whitney嵌入定理、Thom横截性定理；管状邻域定理、Brouwer度的同伦不变性定理、Hopf分类定理；Morse理论、用临界值刻画流形的同伦型和Morse不等式以及Poincare-Hopf指数定理；de Rham同构定理。这些定理在微分拓扑、微分几何、微分方程和理论物理等学科中都有广泛的应用。无疑，阅读本书可使读者具有良好的近代数学修养并增强独立研究的能力。 本书可作为理科大学数学系本科生、研究生的教科书或物理系研究生相关课程的教科书和自学参考书。
本书主要介绍微分拓扑中的一些重要定理：映射的逼近定理、映射和流形的光滑化定理；Morse-Sard定理、Whitney嵌入定理、Thom横截性定理；管状邻域定理、Brouwer度的同伦不变性定理、Hopf分类定理；Morse理论、用临界值刻画流形的同伦型和Morse不等式以及Poincare-Hopf指数定理；de Rham同构定理。 这些定理在微分拓扑、微分几何、微分方程和理论物理等学科中都有广泛的应用。无疑，阅读本书可使读者具有良好的近代数学修养并增强独立研究的能力。 本书可作为理科大学数学系本科生、研究生的教科书或物理系研究生相关课程的教科书和自学参考书。
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本书主要介绍微分拓扑中的一些重要定理：映射的逼近定理、映射和流形的光滑化定理；Morse-Sard定理、Whitney嵌入定理、Thom横截性定理；管状邻域定理、Brouwer度的同伦不变性定理、Hopf分类定理；Morse理论、用临界值刻画流形的同伦型和Morse不等式以及Poincare-Hopf指数定理；de Rham同构定理。 这些定理在微分拓扑、微分几何、微分方程和理论物理等学科中都有广泛的应用。无疑，阅读本书可使读者具有良好的近代数学修养并增强独立研究的能力。 本书可作为理科大学数学系本科生、研究生的教科书或物理系研究生相关课程的教科书和自学参考书。
从辩证唯物主义的立场出发，对空间、时间、连续、无穷、自然数、有理数、无理数、实数、虚数、复数、集合、向量、矩阵等基础数学概念进行了深入分析，揭露和批判了数学中的唯心主义和形而上学，创立了马克思主义的数学理论体系一一数学唯物主义。
本书主要介绍微分拓扑中的一些重要定理：映射的逼近定理、映射和流形的光滑化定理；Morse-Sard定理、Whitney嵌入定理、Thom横截性定理；管状邻域定理、Brouwer度的同伦不变性定理、Hopf分类定理；Morse理论、用临界值刻画流形的同伦型和Morse不等式以及Poincare-Hopf指数定理；de Rham同构定理。这些定理在微分拓扑、微分几何、微分方程和理论物理等学科中都有广泛的应用。无疑，阅读本书可使读者具有良好的近代数学修养并增强独立研究的能力。 本书可作为理科大学数学系本科生、研究生的教科书或物理系研究生相关课程的教科书和自学参考书。
度量几何 是建立在拓扑空间长度概念基础之上的处理几何的方法，这种方法在*近几十年飞速发展，并渗透到诸如群论、动力系统和偏微分方程等其他数学学科。 这本研究生教材有两个目标：详细阐述长度空间理论中使用的基本概念和技巧，以及更一般地，为大量不同的几何论题提供一个初等导引，这些论题都与距离观念相关，包括黎曼度量和 Carnot-Carath odory 度量、双曲平面、距离-体积不等式、(大规模的、粗糙的) 渐近几何、Gromov 双曲空间、度量空间的收敛性，以及 Alexandrov 空间 (非正和非负的弯曲空间)。作者倾向于用 易于看见 的方法来处理 易于触碰 的数学对象。 作者设定了一个具有挑战性的目标，即让本书的核心部分能为一年级研究生所接受。大多数新的概念和方法都按*简单的情形来提出并阐明，从而避免了技术性的障碍。本书还包括大量习题，这些习题
全书共分2章。第1章介绍复形的单纯同调群。应用“挤到边上去”的方法计算了大量典型复形的同调群，证明了单纯同调群的重分不变性、拓扑不变性和伦型不变性。应用线性代数和抽象代数知识给出了有限复形的整单纯同调群的结构定理。应用单纯同调群证明了Sn-1不是Bn的收缩核及其等价的Brouwer不动点定理，从而证明了艰难的Jordan分割定理和Jordan曲线定理，进而给出了正合单纯下同调序列和正合单纯上同调序列。 第2章介绍拓扑空间的奇异同调群。证明了奇异下(上)同调群的伦型不变性。应用图表追踪法证明了奇异下(上)同调序列的正合性，还证明了Mayer-Vietoris序列的正合性。定理2.8.1给出了奇异上同调群的万有系数定理，定理2.8.10给出了奇异下同调群的万有系数定理，这表明以任意交换群为系数群的奇异同调群 由其整奇异下同调群决定。关于多面体，2.2节证
全书共分2章。第1章介绍复形的单纯同调群。应用“挤到边上去”的方法计算了大量典型复形的同调群，证明了单纯同调群的重分不变性、拓扑不变性和伦型不变性。应用线性代数和抽象代数知识给出了有限复形的整单纯同调群的结构定理。应用单纯同调群证明了Sn-1不是Bn的收缩核及其等价的Brouwer不动点定理，从而证明了艰难的Jordan分割定理和Jordan曲线定理，进而给出了正合单纯下同调序列和正合单纯上同调序列。 第2章介绍拓扑空间的奇异同调群。证明了奇异下(上)同调群的伦型不变性。应用图表追踪法证明了奇异下(上)同调序列的正合性，还证明了Mayer-Vietoris序列的正合性。定理2.8.1给出了奇异上同调群的万有系数定理，定理2.8.10给出了奇异下同调群的万有系数定理，这表明以任意交换群为系数群的奇异同调群 由其整奇异下同调群决定。关于多面体，2.2节证
本书前3章主要介绍了Riemann流形、Riemann联络、Riemann截曲率、Ricci曲率和数量曲率，详细论述了全测地、全脐点和极小子流形等重要内容。此外，还应用变分和Jacobi场讨论了测地线、极小子流形的长度与体积的极小性。在证明了Hodge分解定理之后，论述了Laplace-Beltrami算子△的特征值估计以及谱理论。进而，介绍了Riemann几何中重要的Rauch比较定理、Hessian比较定理、Laplace比较定理和体积比较定理。作为比较定理的应用，我们有 的拓扑球面定理。这些内容可视作近代微分几何 的专业基础知识。在叙述时，我们同时采用了不变观点（映射观点、近代观点）、坐标观点（古典观点）和活动标架法。无疑，这些对阅读文献和增强研究能力会起很大作用。第4章、第5章是作者关于特征值的估计和等谱问题、曲率与拓扑不变量等方面部分论文的汇集，将引导读者如何去阅读文献，如
本书主要介绍微分拓扑中的一些重要定理：映射的逼近定理、映射和流形的光滑化定理；Morse-Sard定理、Whitney嵌入定理、Thom横截性定理；管状邻域定理、Brouwer度的同伦不变性定理、Hopf分类定理；Morse理论、用临界值刻画流形的同伦型和Morse不等式以及Poincare-Hopf指数定理；de Rham同构定理。 这些定理在微分拓扑、微分几何、微分方程和理论物理等学科中都有广泛的应用。无疑，阅读本书可使读者具有良好的近代数学修养并增强独立研究的能力。 本书可作为理科大学数学系本科生、研究生的教科书或物理系研究生相关课程的教科书和自学参考书。
本书主要介绍微分拓扑中的一些重要定理：映射的逼近定理、映射和流形的光滑化定理；Morse-Sard定理、Whitney嵌入定理、Thom横截性定理；管状邻域定理、Brouwer度的同伦不变性定理、Hopf分类定理；Morse理论、用临界值刻画流形的同伦型和Morse不等式以及Poincare-Hopf指数定理；de Rham同构定理。这些定理在微分拓扑、微分几何、微分方程和理论物理等学科中都有广泛的应用。无疑，阅读本书可使读者具有良好的近代数学修养并增强独立研究的能力。 本书可作为理科大学数学系本科生、研究生的教科书或物理系研究生相关课程的教科书和自学参考书。
本书前3章主要介绍了Riemann流形、Riemann联络、Riemann截曲率、Ricci曲率和数量曲率，详细论述了全测地、全脐点和极小子流形等重要内容。此外，还应用变分和Jacobi场讨论了测地线、极小子流形的长度与体积的极小性。在证明了Hodge分解定理之后，论述了Laplace-Beltrami算子△的特征值估计以及谱理论。进而，介绍了Riemann几何中重要的Rauch比较定理、Hessian比较定理、Laplace比较定理和体积比较定理。作为比较定理的应用，我们有 的拓扑球面定理。这些内容可视作近代微分几何 的专业基础知识。在叙述时，我们同时采用了不变观点（映射观点、近代观点）、坐标观点（古典观点）和活动标架法。无疑，这些对阅读文献和增强研究能力会起很大作用。第4章、第5章是作者关于特征值的估计和等谱问题、曲率与拓扑不变量等方面部分论文的汇集，将引导读者如何去阅读文献，如
本书前3章主要介绍了Riemann流形、Riemann联络、Riemann截曲率、Ricci曲率和数量曲率，详细论述了全测地、全脐点和极小子流形等重要内容。此外，还应用变分和Jacobi场讨论了测地线、极小子流形的长度与体积的极小性。在证明了Hodge分解定理之后，论述了Laplace-Beltrami算子△的特征值估计以及谱理论。进而，介绍了Riemann几何中重要的Rauch比较定理、Hessian比较定理、Laplace比较定理和体积比较定理。作为比较定理的应用，我们有 的拓扑球面定理。这些内容可视作近代微分几何 的专业基础知识。在叙述时，我们同时采用了不变观点（映射观点、近代观点）、坐标观点（古典观点）和活动标架法。无疑，这些对阅读文献和增强研究能力会起很大作用。第4章、第5章是作者关于特征值的估计和等谱问题、曲率与拓扑不变量等方面部分论文的汇集，将引导读者如何去阅读文献，如
本书前3章主要介绍了Riemann流形、Riemann联络、Riemann截曲率、Ricci曲率和数量曲率，详细论述了全测地、全脐点和极小子流形等重要内容。此外，还应用变分和Jacobi场讨论了测地线、极小子流形的长度与体积的极小性。在证明了Hodge分解定理之后，论述了Laplace-Beltrami算子△的特征值估计以及谱理论。进而，介绍了Riemann几何中重要的Rauch比较定理、Hessian比较定理、Laplace比较定理和体积比较定理。作为比较定理的应用，我们有 的拓扑球面定理。这些内容可视作近代微分几何 的专业基础知识。在叙述时，我们同时采用了不变观点（映射观点、近代观点）、坐标观点（古典观点）和活动标架法。无疑，这些对阅读文献和增强研究能力会起很大作用。第4章、第5章是作者关于特征值的估计和等谱问题、曲率与拓扑不变量等方面部分论文的汇集，将引导读者如何去阅读文献，如
本书前3章主要介绍了Riemann流形、Riemann联络、Riemann截曲率、Ricci曲率和数量曲率，详细论述了全测地、全脐点和极小子流形等重要内容。此外，还应用变分和Jacobi场讨论了测地线、极小子流形的长度与体积的极小性。在证明了Hodge分解定理之后，论述了Laplace-Beltrami算子△的特征值估计以及谱理论。进而，介绍了Riemann几何中重要的Rauch比较定理、Hessian比较定理、Laplace比较定理和体积比较定理。作为比较定理的应用，我们有 的拓扑球面定理。这些内容可视作近代微分几何 的专业基础知识。在叙述时，我们同时采用了不变观点（映射观点、近代观点）、坐标观点（古典观点）和活动标架法。无疑，这些对阅读文献和增强研究能力会起很大作用。第4章、第5章是作者关于特征值的估计和等谱问题、曲率与拓扑不变量等方面部分论文的汇集，将引导读者如何去阅读文献，如
